Een quilt, inspiratie voor een nieuwe wiskundige techniek.
FOTO: Quilt Anne Norman
Een breuk in een breuk in een breuk Quilting: een nieuwe wiskundige techniek voor kettingbreuken
Kettingbreuken helpen om informatie slimmer op te slaan. Ionica Smeets, bekend van het blog wiskundemeisjes.nl, promoveert binnenkort op haar onderzoek
DOOR BART BRAUN ‘Kettingbreuken zijn zelfs binnen de wiskunde een obscuur onderwerp’ vertelt promovenda Ionica Smeets. ‘Mijn afstudeerbegeleider aan de TU Delft, Cor Kraaikamp, is één van de grote kettingbreukmensen op dit moment. Toen hij erop wilde promoveren, kreeg hij de vraag: “Waarom gaat een frisse jongeman als u zo’n hopeloos ouderwets onderwerp tegemoet?”’
Smeets besloot er zelf ook op te gaan promoveren en ging daarvoor naar Leiden. ‘Ik heb niets tegen toegepaste wiskunde, maar vind zuivere wiskunde zelf interessanter om te doen.’ Ze vindt het dan ook jammer dat het in artikelen over wiskunde zo vaak direct over de toepassingen gaat. Daar gaat het de meeste wiskundigen helemaal niet om. Kettingbreuken hebben overigens wel degelijk toepassingen, maar daarover straks meer.
Een kettingbreuk is een breuk waarbij in de noemer – het gedeelte onder de streep – ook weer een breuk staat. En daarin ook weer een breuk met een breuk erin, enzovoort. Je kunt elk getal als een kettingbreuk schrijven. Voor gewone, zogeheten rationale getallen, houdt de kettingbreuk op een gegeven moment op. Vervolgens kun je dan de precieze waarde van dat getal uitrekenen.
Daarnaast bestaan er nog de zogeheten irrationale getallen, die niet als breuk te schrijven zijn. Pi is de bekendste, maar ook de wortel van 2, en het getal Phi van de gulden snede, waarvan u ooit op school leerde dat je het mag afronden als 1,62.
In werkelijkheid is het helemaal geen 1,62, maar een oneindig lange reeks cijfers die begint met 1,61803398874989… en dan tot in de eeuwigheid doorgaat. De 3,14 van pi heeft net zo goed een eindeloze staart. Als je zulke irrationale getallen als kettingbreuk schrijft, gaat je kettingbreuk oneindig lang door. Je kan ook besluiten om ze op een gegeven moment af te kappen, en dan levert je kettingbreuk een benadering op van dat irrationele getal. ‘Als je pi afrondt op 3,14 maak je natuurlijk ook gewoon een benadering met een breuk. 314 gedeeld door honderd. Maar het kan misschien nog wel beter. Denk bijvoorbeeld aan 22/7.’
Het getal pi kun je schatten door een cirkel met twee vierkantjes te tekenen: eentje die er precies inpast, en eentje die er precies omheen past. De oppervlaktes van de vierkanten kun je berekenen, daar tussenin zit de oppervlakte van de cirkel. Door de oppervlakte van de cirkel te schatten en te delen door de diameter van de cirkel, krijg je een benadering van pi. Als je het zo doet, zit je er behoorlijk ver naast, maar als je in plaats van een vierkant een tienhoek gebruikt, kom je al beter in de buurt. De Chinese wiskundige Zu Chongzi gebruikte rond het jaar 500 in plaats van een tienhoek een 12288-hoek. ‘Zonder rekenmachine, zonder sinustabel. Het moet hem maanden gekost hebben’, aldus Smeets.
Door zo stug door te rekenen kwam Chongzi op een benadering uit: ergens tussen de 3,1415926 en 3,1415927. De makkelijkste benadering was 355 gedeeld door 113, meldde hij ook. Het zou nog meer dan negenhonderd jaar duren voor de eerste westerling – de Nederlander Adriaan Anthoniszoon – in 1585 met dezelfde breuk op de proppen kwam.
‘335 gedeeld door 113 – een getal waar je ook op kunt komen met behulp van kettingbreuken – benadert pi tot op zes decimalen nauwkeurig. ‘De kettingbreuk wordt dan gebruikt om het getal netter op te schrijven.’
Vaak is het niet alleen netter, maar ook zuiniger. De cijfers in de breuk zijn dan minder dan het aantal cijfers in de uitkomst van die breuk. In die winst bij het opschrijven van informatie zit ook meteen de toepassing van je kettingbreuk. Het JPEG-formaat voor plaatjes op je computer is een slimme manier om de informatie op dat plaatje te beschrijven, zodat het relatief weinig schijfruimte inneemt. Het beschrijft de kleuren die in het plaatje zitten, en op welke afstand die voorkomen. Het kost minder ruimte om te zeggen dat alles vanaf de duizendste pixel van onder hemelblauw moet, dan om voor al die losse pixels te zeggen dat ze blauw moeten zijn.
‘Die afstanden kun je benaderen met kettingbreuken’, legt Smeets uit. ‘Als je al die afstanden benadert met kettingbreuken met dezelfde noemer, dan hoef je alleen nog de teller te gebruiken, en dan kan je dus je plaatje compacter opslaan. Die truc speelt bijvoorbeeld ook een rol bij het omzetten van een afbeelding met de ene kleurcodering naar de andere.’
Zelf is Smeets echter vooral geïnteresseerd in het bedrijven van wiskunde. ‘Ik vind dit een heel leuk vakgebied; je kunt heel veel kleine voorbeeldjes uitproberen. Eerst zien of het werkt in een specifiek geval, en daarna pas proberen om het algemeen te doen. Sommige onderwerpen zijn zo abstract dat dat niet kan, maar hier zie je het groeien, en zie je leuke dingen ontstaan. Je hebt mensen die gewoon uren gaan zitten en dan na lang nadenken met een groot idee komen. Ik moet al doende ontdekken, maar als het dan lukt om een algemeen resultaat te bewijzen, is het heel tof.’
Smeets gebruikte voor haar kettingbreuken een nieuwe wiskundige techniek die ze Quilting noemt, naar de naaiwerkjes. ‘Je hebt een gebied in een vlak, waarvan de vorm door een aantal parameters wordt gedefinieerd. Je wilt weten hoe dat gebied eruit ziet als je zo’n parameter verandert. Met behulp van knip-en-plakwiskunde voorspellen we hoe de rechthoekjes van die vorm zich verplaatsen. Het idee is dat als door je verandering ergens iets weggaat, er ergens anders iets bij komt; het is heel speelse wiskunde. En met die lapjesdeken kun je grappig genoeg heel sterke beweringen bewijzen. We dachten eerst dat we ons artikel erover niet gepubliceerd zouden krijgen vanwege dat ‘quilten’ in de naam, maar dat is inmiddels toch gebeurd.’
